箱线图（Box Plot）是描述性统计里最常见的图之一，但实际阅读的时候大多数人只看中位数和离群点，其他信息都浪费了。其实一张标准箱线图至少包含 5 个数字 + 分布形状暗示。
一张箱线图的完整构成
- 下触须末端：下界 = max(min, Q1 − 1.5·IQR)
- 盒底：Q1（25% 分位数）
- 盒内中线：中位数（Q2 / 50%）
- 盒顶：Q3（75% 分位数）
- 上触须末端：上界 = min(max, Q3 + 1.5·IQR)
- 圆点：离群值（超出 1.5·IQR 范围的点）
其中 IQR（Interquartile Range）= Q3 − Q1，是四分位距，代表中间 50% 数据的宽度。
第 1 个被忽视的信息：偏态
中位数在盒子里的位置直接反映分布的偏态：
- 中位数居盒子中央 → 大致对称
- 中位数贴近盒底（靠下） → 右偏（长尾在上）
- 中位数贴近盒顶（靠上） → 左偏（长尾在下）
同样，上下触须长度的差异也能反映偏态。触须不等长是经常被忽视的信号。
第 2 个：尺度差异
盒子本身的长度（IQR）反映中心 50% 数据的离散程度。两组数据比较时：
- 盒子长度接近 + 中位数高度接近 → 分布相似
- 盒子长度接近 + 中位数高度不同 → 位置差异（均值检验关注）
- 盒子长度差异明显 → 方差差异（方差齐性受影响）
很多人做 t 检验前忘了看方差，结果 Levene p < 0.05 才意识到问题；其实在画箱线图的时候就能目测到。
第 3 个：离群点的分布模式
离群点不是越多越糟，它们的位置和模式比数量更重要：
- 单边离群（只在一侧有）→ 可能是测量误差或极端事件
- 双边离群且对称 → 可能是厚尾分布（如 Cauchy、t 分布）
- 离群点明显聚集成团 → 可能是亚组，需要分层分析
一个常见的误用：缺口箱线图
Notched Box Plot（缺口箱线图）在中位数附近会有一个 V 形缺口，缺口宽度约等于 ±1.57·IQR/√n。如果两组的缺口不重叠，可以粗略认为两组中位数"在 95% 置信水平上显著不同"。
这是非常好用的视觉检验，但前提条件是样本量不能太小（n > 10），也不适用于方差差异极大的情况。
箱线图的局限
箱线图展示分位数，但无法展示分布形状——双峰、三峰、尖峰分布在箱线图上看起来可能完全一样。
所以在数据探索阶段，我习惯同时画：
- 小提琴图（Violin Plot）：箱线图 + 核密度估计，能看出多峰
- 抖动散点（Jitter + strip plot）：小样本直接显示所有点
- 直方图：对单变量分布最直观
一张箱线图能告诉你的，只是描述性统计的一个侧面。真正稳妥的做法是把它作为初步筛查工具，发现有趣的结构再做深入分析。